[组合数学]动态规划解决整数划分问题

整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式,且这组数中的最大加数不大于n。

如6的整数划分为:

6 6

5 5 + 1

4 4 + 2, 4 + 1 + 1

3 3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1

2 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1

1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

设n为要划分的正整数,m是划分中的最大加数(当m > n时,最大加数为n),

1 当n = 1或m = 1时,split的值为1,可根据上例看出,只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;

2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系

(1) m > n 在整数划分中实际上最大加数不能大于n,因此在这种情况可以等价为split(n, n); 可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);

(2) m = n 这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1,从以上例子中可以看出,就是最大加 数为6和小于6的划分之和 用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);

(3) m < n 这是最一般的情况,在划分的大多数时都是这种情况。 从上例可以看出,设m = 4,那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。

因此,split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)

hdu1028

1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 121;
int n, dp[maxn][maxn];
void init(){
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = dp[1][0] = 1;
for(int i = 1;i<maxn;i++)
dp[i][1] = 1;
for(int i = 2;i<maxn;i++)
for(int j = 1;j<=i;j++)
dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][min(i-j,j)];
}
int main(){
init();
while(~scanf("%d",&n)){
printf("%d\n",dp[n][n]);
}
return 0;
}

纸短情长啊文章结束了但我们的故事还在继续
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