求解逆元的3种方法

简述逆元

逆元(Inverse element)就是在mod意义下,不能直接除以一个数,而要乘以它的逆元。
比如a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp),那么a,b互为模n意义下的逆元,比如你要算x/a,就可以改成x*b%p

观察a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp),变形为a∗b+k∗p=1a∗b+k∗p=1,就可以用扩展欧几里得算法求a了,同时这里也说明了a和p只有在互素的情况下才存在逆元。

注意

在下面所有的算法中,最好先把除数取个模再运算。

方法一:扩展欧几里得算法

原理

a∗b≡1(modp)a∗b≡1(modp)
a∗b+k∗p=1a∗b+k∗p=1
然后a就是我们要求的逆元,最终得到一个正数a的话就要对a mod p,因为a加上mp的时侯k减少mb可以使得等式依然成立。

如果你不想让逆元为正数,那么直接返回x也是可以正确的逆元

代码

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LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元,不存在逆元返回-1
{
LL x,y;
LL d=exgcd(a,mod,x,y);
return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}1234567891011121314151617

注意:返回的时候可以改成(x+mod)%mod,因为扩展欧几里得算法算出来的x应该不会太大.

性能分析:

  • 时间复杂度:O(logn)(实际是斐波那契数列)
  • 适用范围:只要存在逆元即可求,适用于个数不多但是mod很大的时候,也是最常见的一种求逆元的方法。

方法二:费马小定理/欧拉定理

原理

费马小定理:若p为素数,则有ap−1≡1(modp)ap−1≡1(modp)
ap−2∗a≡1(modp)ap−2∗a≡1(modp)
ap−2ap−2就是a在mod p意义下的逆元啦。

欧拉定理:若a、p互素,则有aφ(p)≡1(modp)aφ(p)≡1(modp)(费马小定理的一般形式)
aφ(p)∗a≡1(modp)aφ(p)∗a≡1(modp)
aφ(p)−1aφ(p)−1就是a在mod p意义下的逆元啦。

代码

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LL qkpow(LL a,LL p,LL mod)
{
LL t=1,tt=a%mod;
while(p)
{
if(p&1)t=t*tt%mod;
tt=tt*tt%mod;
p>>=1;
}
return t;
}
LL getInv(LL a,LL mod)
{
return qkpow(a,mod-2,mod);
}123456789101112131415

性能分析:

  • O(logmod)
  • 适用范围:一般在mod是个素数的时候用,比扩欧快一点而且好写。
  • 但是如果是合数,相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。

方法三:递推求逆元

原理

p是模数,i是待求的逆元,我们求的是i−1i−1在mod p意义下的值
p=k∗i+rp=k∗i+r令 r < i,则k=p/i,r=p%i
k∗i+r≡0(modp)k∗i+r≡0(modp)
k∗r−1+i−1≡0(modp)k∗r−1+i−1≡0(modp)
i−1≡−k∗r−1(modp)i−1≡−k∗r−1(modp)
i−1≡−p/i∗inv[pmodi]i−1≡−p/i∗inv[pmodi]
嗯。。好难看的公式
说白了就是:inv[i]=-(mod/i)*inv[i%mod]
然后边界是inv[1]=1
这不仅为我们提供了一个线性求逆元的方法,也提供了一种O(logmod)求逆元的方法

代码

线性求逆元

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LL inv[mod+5];
void getInv(LL mod)
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<mod;i++)
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}1234567

注意:

  • 调用前要先预处理
  • 调用的时候要先对除数取mod

性能分析:

  • 时间复杂度O(n)
  • 适用范围:mod数是不大的素数而且多次调用,比如卢卡斯定理。

递归求逆元

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LL inv(LL i)
{
if(i==1)return 1;
return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}12345

性能分析

  • 时间复杂度:O(logmod)
  • 好像找到了最简单的算法了!!
  • 适用范围: mod数是素数,所以并不好用,比如中国剩余定理中就不好使,因为很多时候可能会忘记考虑mod数是不是素数。

纸短情长啊文章结束了但我们的故事还在继续
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