强连通图经典算法——Tarjan算法

Tarjan 算法

一.算法简介

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法,它能做到线性时间的复杂度。

我们定义:

如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

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例如:在上图中,{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 三个区域可以相互连通,称为这个图的强连通分量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

再Tarjan算法中,有如下定义。

DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号

当DFN[ i ]==LOW[ i ]时,为i或i的子树可以构成一个强连通分量。

二.算法图示

以1为Tarjan 算法的起始点,如图

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顺次DFS搜到节点6

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回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] , LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点,拓展节点4.

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拓展节点1 , 发现1再栈中更新LOW[ 4 ],LOW[ 3 ] 的值为1

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回溯节点1,拓展节点2

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自此,Tarjan Algorithm 结束,{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 } , { 6 } 为图中的三个强连通分量。

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不难发现,Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).

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void Tarjan ( int x ) {
dfn[ x ] = ++dfs_num ;
low[ x ] = dfs_num ;
vis [ x ] = true ;//是否在栈中
stack [ ++top ] = x ;
for ( int i=head[ x ] ; i!=0 ; i=e[i].next ){
int temp = e[ i ].to ;
if ( !dfn[ temp ] ){
Tarjan ( temp ) ;
low[ x ] = gmin ( low[ x ] , low[ temp ] ) ;
}
else if ( vis[ temp ])low[ x ] = gmin ( low[ x ] , dfn[ temp ] ) ;
}
if ( dfn[ x ]==low[ x ] ) {//构成强连通分量
vis[ x ] = false ;
color[ x ] = ++col_num ;//染色
while ( stack[ top ] != x ) {//清空
color [stack[ top ]] = col_num ;
vis [ stack[ top-- ] ] = false ;
}
top -- ;
}
}

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