[转]堆的基本操作

堆（heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

1.堆总是一棵完全二叉树。

2.堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。

本次操作具体以小根堆为例进行演示。

堆的存储

一般采用树组存储，i结点的父结点下标为( i - 1 ) / 2。左子树的下标为2 i + 1,右子树的下标为2 i + 2。

堆的操作

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。

//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2  
void MinHeapFixup(int a[], int i)  
{  
    int j, temp;  
    
    temp = a[i];  
    j = (i - 1) / 2;      //父结点  
    while (j >= 0 && i != 0)  
    {  
        if (a[j] <= temp)  
            break;  
          
        a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点  
        i = j;  
        j = (i - 1) / 2;  
    }  
    a[i] = temp;

插入时

void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
{  
    a[n] = nNum;  
    MinHeapFixup(a, n);  
}

堆的删除

堆中每次都只能删除根结点，即第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2  
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  
{  
    int j, temp;  
  
    temp = a[i];  
    j = 2 * i + 1;  
    while (j < n)  
    {  
        if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的  
            j++;  
  
        if (a[j] >= temp)  
            break;  
  
        a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点  
        i = j;  
        j = 2 * i + 1;  
    }  
    a[i] = temp;  
}  
//在最小堆中删除数  
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  
{  
    Swap(a[0], a[n - 1]);  
    MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
}

构建堆

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。

//建立最小堆  
void MakeMinHeap(int a[], int n)  
{  
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
        MinHeapFixdown(a, i, n);  
}

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
{  
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
    {  
        Swap(a[i], a[0]);  
        MinHeapFixdown(a, 0, i);  
    }  
}